[智力风暴] [微积分] 错在哪里？

马丁

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2011-10-24 18:29

如图，难道可以得出“π=4”的结论？
到底是哪里错了呢？

马丁

微积分。。。。
郁金香 发表于 2011-10-25 04:16

的意思就是，你的回复只能得一个积分儿

马丁

因为方法错误，有误差。
正确的推导方法：圆周率PI的推导是以圆内切多边形的周长来推的，因为我们不能得到 ...
fanliuyuan22 发表于 2011-10-25 07:41

    亲给出了一种正确的微分方法——用内接多边形的周长来近似圆的周长。但是，如果事先并不知道 π 的值是 3.14，您不能以“不规则多边形的周长从没有变过” 来说明这个过程的错误性啊，因为至少从图上看，趋近于极限的时候，那个缺了很多角的“不规则多边形”的确和圆的样子很象有木有。

    这个图提出的问题不是问正确的方法是什么，而是：这个图的推导方法错在哪里，违背了什么原则。如果我们事先不知道 π 是不是等于 4，按照图中的推论方法，看上去似乎真的可以得到 π=4 的结论呢……

    这是怎么回事呢？

马丁

回复  马丁
...众所周知，正方形的周长不等于圆周...
fanliuyuan22 发表于 2011-10-27 14:03

这个恰好是我们想要推翻的结论，这个图本来就是在误导大家：正方形的周长等于圆周。而这个误导的推理过程，看上去似乎很有说服力。

是的，我们都知道它是错的，我们知道所有的结论。但我们至少不能直接说，因为结论是错的，所以推理过程是错的。我们必须假设：我们不知道 π 是否等于 4，换言之，我们不知道 正方形周长是不是等于其内切圆周长。

万一……当初第一个用微分思想求圆周率的那个人走上的是图中的那条路，我们该怎么告诉他，他的方法是不对的？

马丁

回复 10# fanliuyuan22


    厚厚，我接受吧。

    用微分来进行近似，忽略掉的不相等部分必须是高阶无穷小，fanliuyuan22上面的回答，缺角正方形的周长 与 圆周长 不相等的部分，是一个常量，并不是 高阶无穷小，所以不能被忽略。